[이산수학] 함수 : 정의역,공역,치역,상,치역 / 전사,단사,역,합성, / 계승,바닥,천장

본 게시글은 대학 전공수업을 들으며 노션에 정리한 내용을 블로그로 옮긴 것으로, 노션 웹을 통해 최적화된 형태로 읽으시길 권장드립니다.(➡️ 노션 링크)

7강 - 함수

기본 정의

함수란?

https://ko.wikipedia.org/wiki/function

어떤 집합의 각 원소를 다른 어떤 집합의 유일한 원소에 대응시키는 이항 관계이다.

수학적으로 하면,
𝑿, 𝒀: 집합, 𝑿에서 𝒀로의 함수(function) 𝒇는
∀𝒙 ∈ 𝑿, ∃! 𝒚 ∈ 𝒀, 𝒙, 𝒚 ∈ 𝒇 를 만족하는
𝑿에서 𝒀로의 관계 [ 𝒇 ⊂ 𝑿 × 𝒀 ]

우리말로 하면, 𝑿의 임의의 원소 𝒙에 대해 (𝒙, 𝒚) ∈ 𝒇 를 만족하는
[ 𝒇(𝒙) = 𝒚 를 만족하는] 𝒚가 𝒀에 오직 하나만 존재하는 경우

https://math24.net/functions-relations.html

정의역, 공역, 상, 역상, 치역

이 때, 𝑿 를 𝒇의 정의역(domain), 𝒀 를 𝒇의 공역(codomain)
𝒚를 𝒙의 상(image), 𝒙를 𝒚의 역상(preimage),
𝒇(𝑿) : 𝒇의 치역(range)이라고 한다.

• 𝒇 𝑿 = {𝒚 ∈ 𝒀|∀𝒙 ∈ 𝑿, 𝒚 = 𝒇 𝒙 }

https://math24.net/functions-relations.html

상수함수(Constant Function)

𝒇 ∶ 𝑿 → 𝒀, ∀𝒙 ∈ 𝑿,

𝒇(𝒙) = 𝒄 (𝒄는 상수)

입력 값 𝑥 에 상관없이 함수𝑓의 출력 값은 항상 𝑐.

항등함수(Identity Function)

• 𝒇 ∶ 𝑿 → 𝑿, ∀𝒙 ∈ 𝑿, 𝒇(𝒙) = 𝒙
• $I_X$

입력 값이 그대로 출력 값이 되는 함수.(어떤 입력 값을 받아도 그 값을 그대로 반환)

함수의 상등(Equality of Functions)

𝒇 ∶ 𝑿 → 𝒀, 𝒈 ∶ 𝑨 → 𝑩가 함수일 때

① 𝑿 = 𝑨, 𝒀 = 𝑩 (=정의역이 동일.)

② ∀𝒙 ∈ 𝑿, 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
(=두 함수 𝑓와 𝑔가 정의역의 모든 원소 𝑥에 대해 출력 값이 동일하다) 이면

⇒ 𝒇와 𝒈는‘상등하다’ (=서로 같다, 𝒇 = 𝒈로 표시)

• 예: $f(x)=g(x) => x^2=1=> x=\pm1$
• 따라서, 정의역 X = {1}, {-1}, {-1, 1} 중 하나이다.
• 두 함수 𝒇와 𝒈의 정의역이 𝑿이고, 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, 𝒈(𝒙) = 𝟏일 때,
  𝒇 = 𝒈가 되는 공집합이 아닌 𝑿를 찾으시오.

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전사/단사/역함수

https://ko.wikipedia.org/wiki/함수

전사함수(surjective function)

∀𝒚 ∈ 𝒀, ∃𝒙 ∈ 𝑿, 𝒇(𝒙) = 𝒚

즉, f: X → Y에서 Y의 모든 원소가 f(x)의 값으로 나타낼 수 있는 경우
(즉, f(X) = Y가 성립)

onto function이라고도 한다.

(by wikipedia) 임의의 공역 원소 𝑦∈𝑌에 대하여, 𝑦=𝑓(𝑥)인 정의역 원소 𝑥∈𝑋가 존재한다. 즉, 𝑓의 치역은 𝑓의 공역과 같다.

즉 A에서 B로 공을 옮긴다고 할 때, 모든 공을 다른 상자에 담을 수 있는 경우

https://math24.net/injection-surjection-bijection.html

 

단사함수(injective function)

∀𝒙𝟏, ∀𝒙𝟐 ∈ 𝑿, 𝒇(𝒙𝟏) = 𝒇(𝒙𝟐) ⇒ 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐

함수 f: X → Y에서 서로 다른 정의역 원소가 서로 다른 공역 원소에 대응되는 경우 (= 즉, f(x) = f(y)라면 x = y가 성립)

(by wikipedia)

임의의 정의역 원소 𝑥,𝑦∈𝑋에 대하여, 만약 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑦)라면, 𝑥=𝑦이다.

즉, 서로 다른 정의역 원소는 서로 다른 공역 원소에 대응한다.

전단사함수(bijective function)

단사임과 동시에 전사인 함수.

𝒇가 전사함수 ∧ 𝒇가 단사함수. (이는 𝑓가 역함수 를 갖는 것과 동치)

역함수

함수 𝒇: 𝑿 ⟶ 𝒀가 전단사함수일 때

𝒇의 역관계 $f^{-1}$를 𝒇의 역함수(inverse function)

https://math24.net/inverse-functions.html , 전단사함수와 역함수

• 𝒇: ℝ ⟶ ℝ, 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟑일 때 $f^{-1}$를 구하시오.
  • 전단사 함수인가?
    • 치역 = 공역 : 전사함수
    • 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 ⇒ 𝒙𝟏 + 𝟑 ≠ 𝒙𝟐 + 𝟑 : 단사함수
  • 𝒙 = 𝒇(𝒚) = 𝒚 + 𝟑 ⇒ $y=x-3$
    따라서, $f^{-1}(x) = x-3$

$* \space (f^{-1})^{-1}=f$ 라는 특징이 있다!

합성함수(Composition of Functions)

• 두 개의 함수를 결합하여 새로운 함수를 만드는 연산
• 정의두 함수 𝒇 ∶𝑿 → 𝒀′ 와 𝒈 ∶𝒀 → 𝒁에 대해∀𝒙 ∈ 𝑿, (𝒈 ∘ 𝒇)(𝐱) ≡ 𝒈(𝒇(𝒙)) : 합성함수의 2가지 표기법
• 다음과 같이 정의되는 함수 𝒈 ∘ 𝒇 ∶𝑿 → 𝒁를 𝒇와 𝒈의 합성함수라고 한다.
• 𝑿, 𝒀, 𝒀′, 𝒁 : 집합, 𝒀′ ⊂ 𝒀

전사함수의 합성함수

두 함수 𝒇 ∶ 𝑿 → 𝒀, 𝒈 ∶ 𝒀 → 𝒁가 전사함수 ⇒ 𝒈 ∘ 𝒇 : 𝑿 → 𝒁도 전사함수

단사함수의 합성함수

두 함수 𝒇 ∶ 𝑿 → 𝒀, 𝒈 ∶ 𝒀 → 𝒁가 단사함수 ⇒ 𝒈 ∘ 𝒇 : 𝑿 → 𝒁도 단사함수

합성함수의 성질

𝒇 ∘ 𝒈 ≠ 𝒈 ∘ 𝒇

• AB ≠ BA가 아님과 마찬가지. 합성함수의 곱은 교환법칙 성립X
• 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 = 𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉)
• (f+g)+h = f+(g+h)

항등함수와 합성함수

함수 𝒇: 𝑿 → 𝒀, 항등함수 $I_X$: 𝑿 → 𝑿, 항등함수 $I_Y$: 𝒀 → 𝒀

𝒇 = 𝒇 ∘ $I_X$= $I_Y$ ∘ 𝒇

역함수와 합성함수

전단사함수 𝒇 ∶ 𝑿 → 𝒀
전단사함수 𝒈 ∶ 𝒀 → 𝒁 . 일 때,

• $𝒇^{−𝟏} ∘ 𝒇 = 𝑰_𝑿, 𝒇 ∘ 𝒇^{−𝟏} = 𝑰_𝒀$
  • 행렬에서 $A^{-1}A = I$(단위행렬) 임과 같다!
• $(𝒈 ∘ 𝒇)^{-1} = 𝒇^{−𝟏} ∘ 𝒈^{−𝟏}$
  • $행렬에서 \space (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$임과 같다!

함수의 종류

계승함수(factorial)

음이 아닌 정수 n에 대해, 1부터 n까지 곱하는 것.

더하는 것이 $\sigma_{k=1}^{n}$로 표현한다면 곱하는것은 $n!$라고 표기한다.

$n!=n\times (n-1)!$

바닥함수(floor function)

실수 𝒙에 대해, 𝒙 보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수를 구하는 함수

$\lfloor x \rfloor$ = 𝒎𝒂𝒙 {𝒎 ∈ ℤ | 𝒎 ≤ 𝒙}

ex) $\lfloor 2.6 \rfloor$ = 𝟐 / $\lfloor -2.6 \rfloor$ = -3

천장함수(ceiling function)

실수 𝒙에 대해, 𝒙 보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수를 구하는 함수

$\lceil x \rceil$ = 𝒎𝒊𝒏 {𝒏 ∈ ℤ | 𝒙 ≤ 𝒏}

ex) $\lceil 2.6 \rceil$ = 𝟑, $\lceil -2.6 \rceil$ = −𝟐

나머지 함수(modulo function)

정수 𝒏 과 양의 정수 𝒎에 대해 𝒏을 𝒎으로 나누었을 때의 나머지를 구하는 함수

$n \space mod \space m = n-m \lfloor \frac{n}{m} \rfloor$

즉 11 mod 3 = = 11 - 3(11/3) = 11 - 9 = 2